Fundamento teórico Estado de Bell
Estado de Bell: preparación de un par entrelazado y correlaciones no locales
El estado de Bell \(|\Phi^+\rangle\) es el par cuántico entrelazado más sencillo que puede prepararse sobre un sistema de dos cúbits. Su estudio es obligatorio en cualquier introducción a la computación cuántica porque concentra, en apenas dos puertas lógicas, todos los fenómenos que diferencian cualitativamente la mecánica cuántica de la probabilidad clásica: superposición coherente, correlaciones no locales y colapso conjunto en la medición proyectiva.
Desde el formalismo de espacios de Hilbert compuestos, \(|\Phi^+\rangle\) carece de factorización en producto tensorial de estados puros locales; el rango de Schmidt es dos y la traza parcial sobre cualquier subsistema coincide con el operador proporcional a la identidad en \(\mathbb{C}^2\). Esa maximalidad de entropía de entrelazamiento explica por qué ningún observador con acceso solo a un cúbit puede predecir con certeza el resultado de una medición en el otro, pese a las correlaciones perfectas cuando se analiza el sistema conjunto. En laboratorios y simuladores (Hopper, Hermann), la distinción entre desviaciones estadísticas y degradación por ruido de puerta resulta central para interpretar histogramas de conteos.
Fundamento teórico
Sea \(\mathcal{H} = \mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2\) el espacio de Hilbert de dos cúbits. La base computacional estándar es \(\{|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle\}\). Dos sistemas cuánticos \(A\) y \(B\) se dicen entrelazados cuando su estado conjunto no puede factorizarse como producto tensorial de estados individuales: \(|\psi\rangle_{AB} \neq |\alpha\rangle_A \otimes |\beta\rangle_B\).
Los cuatro estados de Bell (o pares EPR) forman una base ortonormal de \(\mathcal{H}\) compuesta íntegramente por estados entrelazados máximamente:
\[ |\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}, \qquad |\Phi^-\rangle = \frac{|00\rangle - |11\rangle}{\sqrt{2}} \] \[ |\Psi^+\rangle = \frac{|01\rangle + |10\rangle}{\sqrt{2}}, \qquad |\Psi^-\rangle = \frac{|01\rangle - |10\rangle}{\sqrt{2}} \]
Este ejemplo prepara \(|\Phi^+\rangle\). Para comprender por qué el circuito de dos puertas lo produce, consideremos el efecto de cada operación por separado.
La puerta de Hadamard \(H\) actúa sobre un cúbit único y mapea los estados de la base computacional a superposiciones uniformes: \[H|0\rangle = \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}} \equiv |{+}\rangle, \qquad H|1\rangle = \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}} \equiv |{-}\rangle.\] Aplicada a \(q_0\), el estado del sistema bipartito evoluciona de \(|00\rangle\) a \(|{+}\rangle|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |10\rangle)\).
La puerta CNOT (\(q_0\) control, \(q_1\) objetivo) voltea \(q_1\) si y solo si \(q_0 = 1\). Su acción sobre la superposición anterior produce: \[ \text{CNOT}\,\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |10\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle) = |\Phi^+\rangle. \] En este punto el estado no puede descomponerse en producto; los dos cúbits están máximamente entrelazados. Cualquier medición local de \(q_0\) determina instantáneamente el resultado de \(q_1\), y viceversa, independientemente de la distancia entre ellos.
Descomposición de Schmidt y matriz de densidad reducida
Para un estado bipartito \(|\psi\rangle_{AB}\), la descomposición de Schmidt garantiza la existencia de bases ortonormales \(\{|i\rangle_A\}\), \(\{|i\rangle_B\}\) y coeficientes \(\lambda_i \ge 0\) con \(\sum_i \lambda_i^2 = 1\) tales que \(|\psi\rangle = \sum_i \lambda_i |i\rangle_A|i\rangle_B\). El estado es separable (producto) si y solo si un único \(\lambda_i\) es no nulo. Para \(|\Phi^+\rangle\), los coeficientes de Schmidt son ambos \(1/\sqrt{2}\); por tanto el entrelazamiento es maximal en el sentido de entropía de Von Neumann del subsistema.
La matriz de densidad reducida del subsistema \(A\) se obtiene por traza parcial \(\rho_A = \mathrm{Tr}_B(|\Phi^+\rangle\langle\Phi^+|)\). Un cálculo directo en la base computacional muestra \(\rho_A = \rho_B = \frac{1}{2}I\), es decir, el estado mezclado maximal en un cúbit. La entropía de entrelazamiento \(S(\rho_A) = -\mathrm{Tr}(\rho_A \log_2 \rho_A)\) vale entonces \(1\) bit, cota superior para dos cúbits.
Formalismo EPR, no señalización y desigualdades de Bell
El argumento Einstein–Podolsky–Rosen interpretaba correlaciones perfectas como evidencia de variables ocultas predeterminadas. Los trabajos de Bell y posteriores demostraron que correlaciones medibles en \(|\Phi^+\rangle\) pueden violar la cota de Bell–CHSH, descartando modelos locales realistas en el sentido estándar. Crucialmente, la no señalización sigue cumpliéndose: la estadística marginal de cada laboratorio no depende de la elección de base del otro; solo las correlaciones conjuntas revelan el carácter cuántico.
En protocolos de información cuántica (teleportación, codificación superdensa, QKD basada en entrelazamiento), \(|\Phi^+\rangle\) y sus equivalentes unitarios suelen tomarse como recurso estándar porque cualquier estado de Bell maximiza ciertas capacidades de canal bipartito en dimensión \(2 \times 2\).
Circuito cuántico
El circuito consta de dos puertas y actúa sobre el estado inicial \(|q_0 q_1\rangle = |00\rangle\):
Paso 1 — Hadamard en \(q_0\): crea la superposición \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\) en el cúbit de control. El estado global pasa de \(|00\rangle\) a \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |10\rangle)\).
Paso 2 — CNOT(\(q_0 \to q_1\)): condiciona la operación NOT sobre \(q_1\) al valor de \(q_0\). El componente \(|10\rangle\) se transforma en \(|11\rangle\), produciendo \(|\Phi^+\rangle\).
Paso 3 — Medición en base Z: colapsa el estado a \(|00\rangle\) o \(|11\rangle\) con probabilidad \(\frac{1}{2}\). Ambos cúbits siempre coinciden.
Implementación en HarmoniQ
El mismo circuito se expresa de forma casi idéntica en los cuatro SDKs de HarmoniQ.
La única diferencia es la sintaxis nativa de cada lenguaje para listas y llamadas asíncronas.
El parámetro provider selecciona el backend; usa "hopper"
para prototipos rápidos de 2 cúbits.
Swift
BellState.swift
import HarmoniQ
let gates: [Gate] = [
Gate(name: "h", targets: [0]),
Gate(name: "cnot", targets: [1], controls: [0]),
]
do {
let result = try await HarmoniQ.quantum.executeCircuit(
provider: "hopper",
shots: 1024,
qubits: 2,
bits: 2,
gates: gates,
basis: "Z"
)
// Esperado: {"00": ~512, "11": ~512}
print(result.counts)
} catch {
print("Error:", error)
}
Kotlin
BellState.kt
import com.planq.harmoniq.HarmoniQ
import com.planq.harmoniq.model.Gate
val gates = listOf(
Gate(name = "h", targets = listOf(0)),
Gate(name = "cnot", targets = listOf(1), controls = listOf(0)),
)
viewModelScope.launch {
val result = HarmoniQ.quantum.executeCircuit(
provider = "hopper",
shots = 1024,
qubits = 2,
bits = 2,
gates = gates,
basis = "Z"
)
// Esperado: {"00": ~512, "11": ~512}
Log.d("Bell", "${result.counts}")
}
React / TypeScript
bellState.ts
import { HarmoniQ } from './lib/quantum'
import type { Gate } from '@planq/harmoniq'
const gates: Gate[] = [
{ name: 'h', targets: [0] },
{ name: 'cnot', targets: [1], controls: [0] },
]
const result = await HarmoniQ.quantum.executeCircuit({
provider: 'hopper',
shots: 1024,
qubits: 2,
bits: 2,
gates,
basis: 'Z',
})
// Esperado: { "00": ~512, "11": ~512 }
console.log(result.counts)
Python
bell_state.py
from harmoniq import HarmoniQ, Gate
gates = [
Gate(name="h", targets=[0]),
Gate(name="cnot", targets=[1], controls=[0]),
]
result = HarmoniQ.quantum.execute_circuit(
provider="hopper",
shots=1024,
qubits=2,
bits=2,
gates=gates,
basis="Z",
)
print(result.counts) # {"00": ~512, "11": ~512}
print(result.most_frequent) # "00" o "11"
# En Jupyter Notebook:
# result.plot_histogram()Análisis de resultados
Con shots = 1024 y ruido de simulación activado (modelo por defecto de Hopper),
la distribución observada será aproximadamente:
| Estado | Conteo esperado (ideal) | Conteo típico (con ruido) |
|---|---|---|
|00⟩ | 512 | 480 – 530 |
|11⟩ | 512 | 480 – 530 |
|01⟩ | 0 | 0 – 10 |
|10⟩ | 0 | 0 – 10 |
La fracción de resultados en \(\{|01\rangle, |10\rangle\}\) cuantifica el error del simulador. Una tasa inferior al 2% es coherente con las fidelidades de puerta de Hopper (99.8% para puertas de un cúbit, 98.5% para dos cúbits). Para verificar el entrelazamiento formalmente, sería necesario realizar tomografía de estado completa con mediciones en las bases \(X\), \(Y\) y \(Z\).
Incrementar shots reduce la incertidumbre estadística de Poisson
(\(\sigma \propto 1/\sqrt{N_{\text{shots}}}\)) pero no elimina los errores sistemáticos del
hardware. El backend Hermann ofrece mayor fidelidad de puerta de dos cúbits (97.9%) y es
preferible para benchmarks de precisión.
Referencias y lecturas recomendadas
La selección siguiente orienta al lector hacia monografías y recursos cuya rigurosidad ha sido contrastada por la comunidad científica; complementa la bibliografía citada al pie de esta guía.
- IBM Quantum Plataforma experimental y documentación orientada a circuitos y calibración. Abrir
- Qiskit Textbook Texto abierto con derivaciones paso a paso y ejercicios numéricos. Abrir
- Microsoft Learn · Azure Quantum Fundamentos y modelos de programación cuántica en entornos administrados. Abrir
- arXiv · quant-ph Prepublicaciones recientes en información cuántica y computación cuántica. Abrir
- NIST · Quantum information Marcos metrológicos y estándares en ciencia cuántica aplicada. Abrir
-
Nielsen & Chuang Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge University Press). Obra de referencia para demostraciones formales, complejidad cuántica y códigos correctores.
Bibliografía citada
-
[1]
Bell, J. S. (1964). On the Einstein Podolsky Rosen Paradox. Physics Physique Fizika, 1(3), 195–200.
-
[2]
Einstein, A., Podolsky, B., & Rosen, N. (1935). Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? Physical Review, 47(10), 777–780.
-
[3]
Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2010). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press. Sección 1.3.
-
[4]
Aspect, A., Grangier, P., & Roger, G. (1982). Experimental realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment. Physical Review Letters, 49(2), 91–94.