Circuitos cuánticos y puertas elementales: del formalismo unitario a la ejecución en hardware

Un circuito cuántico sobre \(n\) cúbits es un grafo acíclico dirigido (DAG) cuyos nodos representan operaciones — puertas unitarias, barreras o mediciones — y cuyas aristas codifican dependencias de datos (líneas de cúbit) y dependencias clásicas (bits condicionales). Formalmente, la evolución del estado \(|\psi_0\rangle\) a \(|\psi_f\rangle\) se expresa como

donde cada \(U_k\) es una puerta que actúa sobre un subconjunto de cúbits y se extiende al espacio completo mediante producto tensorial con identidades. El orden de los factores refleja la convención de ordenamiento temporal: la primera puerta aplicada al estado aparece a la derecha del producto, la última a la izquierda. Este detalle es crucial porque, en general, las puertas cuánticas no conmutan.

Dos métricas caracterizan la estructura de un circuito: la anchura \(n\) — número de cúbits del registro — y la profundidad \(d\) — longitud del camino crítico en el DAG, es decir, el máximo número de capas de puertas que no pueden ejecutarse en paralelo. La profundidad es un indicador directo del tiempo de ejecución en hardware, pues cada capa adicional introduce decoherencia acumulativa proporcional a las tasas de error del dispositivo.

Una capa (o layer) agrupa las puertas que actúan sobre cúbits disjuntos y, por tanto, pueden ejecutarse simultáneamente. El compilador busca minimizar \(d\) respetando las restricciones de conectividad: si dos cúbits lógicos necesitan interactuar pero no están físicamente acoplados, se deben insertar operaciones SWAP que incrementan la profundidad. La relación entre profundidad lógica y profundidad física es uno de los problemas centrales de la compilación cuántica.

La unitariedad del circuito completo garantiza la reversibilidad: para cada \(U_{\text{total}}\) existe \(U_{\text{total}}^\dagger\) que restaura el estado inicial. Esta propiedad, consecuencia directa del postulado de evolución de la mecánica cuántica, distingue la computación cuántica de los modelos clásicos irreversibles y tiene implicaciones profundas en la termodinámica de la información, vinculadas al principio de Landauer y al límite de Margolus–Levitin para la velocidad de cómputo.

La representación DAG permite aplicar técnicas de optimización combinatoria: identificación de sub-DAGs equivalentes, fusión de nodos, eliminación de puertas que se cancelan por ser su propia inversa (\(X^2 = I\), \(H^2 = I\)), y reordenamiento de capas para explotar paralelismo. Algoritmos de planificación como list scheduling y ALAP/ASAP scheduling determinan la asignación temporal óptima sujeta a las restricciones del hardware.

Toda puerta de un cúbit es un elemento del grupo unitario \(\mathrm{U}(2)\). Factorizando la fase global \(e^{i\alpha}\), que es físicamente inobservable, el contenido operacional reside en el grupo especial unitario \(\mathrm{SU}(2)\), cuya álgebra de Lie \(\mathfrak{su}(2)\) está generada por las tres matrices de Pauli:

Las matrices de Pauli satisfacen las relaciones de anticonmutación \(\{X, Y\} = \{Y, Z\} = \{Z, X\} = 0\) y de conmutación cíclica \([X, Y] = 2iZ\), \([Y, Z] = 2iX\), \([Z, X] = 2iY\). Junto con la identidad \(I\), forman una base ortonormal del espacio de matrices \(2 \times 2\) hermíticas, lo que permite expandir cualquier operador de un cúbit como \(A = a_0 I + a_1 X + a_2 Y + a_3 Z\) con coeficientes reales.

2.1 · Puertas de rotación

La exponenciación de las matrices de Pauli produce las puertas de rotación que parametrizan rotaciones continuas en la esfera de Bloch:

Geométricamente, \(R_{\hat{n}}(\theta) = e^{-i\theta\,\hat{n}\cdot\vec{\sigma}/2}\) describe una rotación de ángulo \(\theta\) alrededor del eje \(\hat{n}\) en la esfera de Bloch, donde \(\vec{\sigma} = (X, Y, Z)\). Esta parametrización demuestra la isomorfía local \(\mathrm{SU}(2) \cong \mathrm{SO}(3)\) (salvo el doble recubrimiento: \(R_{\hat{n}}(2\pi) = -I \neq I\)).

2.2 · Puertas discretas fundamentales

Las puertas con ángulos específicos tienen nombres estándar y juegan papeles distinguidos en la teoría de universalidad y corrección de errores:

La puerta de Hadamard \(H\) transforma la base computacional en la base de Fourier: \(H|0\rangle = |+\rangle\), \(H|1\rangle = |-\rangle\). Es su propia inversa (\(H^2 = I\)) y equivale a una rotación de \(\pi\) alrededor del eje \((\hat{x}+\hat{z})/\sqrt{2}\). Es la puerta más utilizada para crear superposiciones uniformes y aparece como bloque elemental en la transformada cuántica de Fourier, el algoritmo de Grover y la teleportación cuántica.

La puerta de fase \(S = R_z(\pi/2)\) (módulo fase global) efectúa un cuarto de vuelta alrededor de \(\hat{z}\), mapeando \(|+\rangle \mapsto |{+}i\rangle\). Su raíz cuadrada es la puerta \(T = R_z(\pi/4)\), también llamada puerta \(\pi/8\) porque \(T = e^{i\pi/8} R_z(\pi/4)\). La puerta \(T\) es central en la corrección cuántica de errores topológica: es la puerta no-Clifford más simple, y su síntesis eficiente domina el costo de algoritmos tolerantes a fallos. El número de puertas \(T\) requeridas — el \(T\)-count — se ha convertido en la métrica de complejidad más relevante para circuitos tolerantes a errores.

Un resultado fundamental de la teoría de grupos establece que cualquier \(U \in \mathrm{SU}(2)\) admite la descomposición de Euler \(Z\text{-}Y\text{-}Z\):

para ángulos reales \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\). Esta descomposición es la base de toda síntesis de puertas de un cúbit: dado un operador unitario arbitrario, el compilador calcula los tres ángulos de Euler y los expresa en el conjunto nativo del procesador (por ejemplo, \(\{R_z, \sqrt{X}\}\) en hardware superconductor IBM o \(\{R_z, R_{xx}\}\) en iones atrapados).

Las puertas de dos cúbits actúan sobre el espacio \(\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 \cong \mathbb{C}^4\) y son las responsables de generar entrelazamiento — correlaciones cuánticas sin análogo clásico que constituyen el recurso computacional esencial de la ventaja cuántica. Una puerta de dos cúbits \(U \in \mathrm{U}(4)\) es entrelazadora si y solo si no puede factorizarse como \(U = A \otimes B\) con \(A, B \in \mathrm{U}(2)\).

3.1 · CNOT (Controlled-NOT)

La puerta CNOT es la puerta entrelazadora canónica. Actúa condicionando la aplicación de \(X\) sobre el cúbit objetivo al estado del cúbit de control:

En la base computacional: \(|00\rangle \mapsto |00\rangle\), \(|01\rangle \mapsto |01\rangle\), \(|10\rangle \mapsto |11\rangle\), \(|11\rangle \mapsto |10\rangle\). Aplicada tras una Hadamard en el control, crea un estado de Bell: \(\mathrm{CNOT}\,(H \otimes I)|00\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle) = |\Phi^+\rangle\).

3.2 · CZ (Controlled-Z)

La puerta CZ aplica una fase de \(-1\) si y solo si ambos cúbits están en \(|1\rangle\):

A diferencia de CNOT, la CZ es simétrica respecto al intercambio de control y objetivo: \(\mathrm{CZ}_{ij} = \mathrm{CZ}_{ji}\). Se relaciona con CNOT mediante conjugación por Hadamard: \(\mathrm{CZ} = (I \otimes H)\,\mathrm{CNOT}\,(I \otimes H)\). En muchas arquitecturas superconductoras, la CZ es la puerta nativa de dos cúbits, implementada mediante cruce adiabático de niveles de energía o pulsos de flujo magnético.

3.3 · SWAP e iSWAP

La puerta SWAP intercambia los estados de dos cúbits: \(\mathrm{SWAP}|a,b\rangle = |b,a\rangle\). Su representación matricial y descomposición en CNOTs son:

La puerta iSWAP añade una fase de \(i\) al intercambio: \(\mathrm{iSWAP}|01\rangle = i|10\rangle\), \(\mathrm{iSWAP}|10\rangle = i|01\rangle\). Es la interacción nativa en muchos procesadores basados en transmon con acoplamiento capacitivo resonante, pues corresponde a la evolución natural del hamiltoniano de intercambio \(H_{\mathrm{XX+YY}} = \tfrac{g}{2}(XX + YY)\) durante un tiempo \(t = \pi/(2g)\).

3.4 · Controlled-U y poder entrelazador

La puerta controlada general \(\mathrm{C\text{-}}U\) aplica una unitaria arbitraria \(U\) al objetivo condicionada al control:

El poder entrelazador (entangling power) de una puerta \(U\) se define como la media del entrelazamiento generado sobre todos los estados producto de entrada. Formalmente, \(e_p(U) = \overline{E(U|\phi\rangle \otimes |\chi\rangle)}\), donde \(E\) es una medida de entrelazamiento (por ejemplo, la entropía de von Neumann de la traza parcial) y la media se toma con respecto a la medida de Haar. Para la CNOT, \(e_p(\mathrm{CNOT}) = \tfrac{2}{9}\), que es el máximo para puertas de dos cúbits. La noción de rango de Schmidt de la puerta \(U\), vista como elemento de \(\mathbb{C}^4 \otimes \mathbb{C}^4\), cuantifica su capacidad entrelazadora: las puertas locales tienen rango de Schmidt 1, mientras que CNOT tiene rango 2 (el mínimo para ser entrelazadora).

Un conjunto de puertas \(\mathcal{G}\) es computacionalmente universal si, para toda unitaria \(U \in \mathrm{U}(2^n)\) y toda precisión \(\varepsilon > 0\), existe un circuito compuesto exclusivamente por puertas de \(\mathcal{G}\) cuya distancia a \(U\) en norma de operador satisface \(\|U - U_{\mathcal{G}}\| < \varepsilon\). Equivalentemente, \(\mathcal{G}\) genera un grupo denso en \(\mathrm{U}(2^n)\) (o \(\mathrm{SU}(2^n)\) si ignoramos fases globales).

4.1 · El conjunto \(\{H, T, \mathrm{CNOT}\}\)

El resultado central de universalidad establece que el conjunto finito \(\mathcal{G} = \{H, T, \mathrm{CNOT}\}\) es universal. La demostración procede en dos pasos:

Paso 1 (Universalidad de un cúbit). Las puertas \(\{H, T\}\) generan un subgrupo denso de \(\mathrm{SU}(2)\). Esto se verifica observando que \(HTH = R_x(\pi/4)\) y que las composiciones sucesivas de rotaciones alrededor de dos ejes no paralelos (en este caso, \(\hat{z}\) para \(T\) y \((\hat{x}+\hat{z})/\sqrt{2}\) para \(H\)) generan un subgrupo denso de \(\mathrm{SO}(3)\), y por tanto de \(\mathrm{SU}(2)\) vía el doble recubrimiento.

Paso 2 (Extensión a \(n\) cúbits). Toda unitaria \(U \in \mathrm{SU}(2^n)\) puede descomponerse en un producto de a lo sumo \(\mathcal{O}(4^n)\) puertas controladas de un cúbit, cada una de las cuales se implementa con puertas de un cúbit y CNOTs. El esquema de Barenco et al. (1995) proporciona la construcción explícita: una puerta \(\mathrm{C\text{-}}U\) arbitraria requiere a lo sumo 2 CNOTs y 4 rotaciones de un cúbit.

4.2 · Teorema de Solovay–Kitaev

El teorema de Solovay–Kitaev cuantifica la eficiencia de la aproximación: si \(\mathcal{G}\) genera un grupo denso en \(\mathrm{SU}(2)\), entonces cualquier \(U \in \mathrm{SU}(2)\) puede aproximarse con precisión \(\varepsilon\) usando

lo que constituye una complejidad polilogarítmica en \(1/\varepsilon\). La constante \(c\) ha sido mejorada a \(c \approx 3.97\) mediante refinamientos del algoritmo recursivo original. En la práctica, los compiladores modernos utilizan algoritmos de búsqueda basados en el método de Ross–Selinger (2014), que alcanzan secuencias óptimas o casi óptimas de puertas \(H\) y \(T\) para aproximar rotaciones arbitrarias \(R_z(\theta)\), con un \(T\)-count de \(3\log_2(1/\varepsilon) + \mathcal{O}(\log\log(1/\varepsilon))\).

La universalidad tiene consecuencias profundas: implica que un dispositivo cuántico con un conjunto fijo y finito de puertas puede, en principio, realizar cualquier cómputo cuántico. La distinción entre conjuntos universales exactos (como \(\{R_z(\theta), \mathrm{CNOT}\}\) para \(\theta/\pi\) irracional) y conjuntos universales aproximados (como \(\{H, T, \mathrm{CNOT}\}\)) es relevante para la corrección cuántica de errores, donde solo las puertas del grupo de Clifford más \(T\) pueden implementarse transversalmente en códigos estabilizadores.

La síntesis de circuitos es el proceso de expresar una unitaria objetivo como un producto de puertas del conjunto universal. Para puertas de un cúbit, la descomposición de Euler \(U = e^{i\alpha} R_z(\beta) R_y(\gamma) R_z(\delta)\) proporciona la solución óptima con exactamente 3 rotaciones. Para puertas de dos cúbits, el problema es considerablemente más rico.

5.1 · Descomposición KAK

La descomposición KAK (Cartan) de \(\mathrm{SU}(4)\) factoriza cualquier puerta de dos cúbits como:

donde \(A_i, B_i \in \mathrm{SU}(2)\) son unitarias locales y \((c_x, c_y, c_z)\) son los invariantes de Weyl que parametrizan la clase de equivalencia local. El rango geométrico del espacio de parámetros es un tetraedro con vértices correspondientes a la identidad, CNOT, SWAP e iSWAP.

La implementación canónica de una puerta arbitraria de dos cúbits requiere a lo sumo 3 CNOTs y 15 puertas de un cúbit (Vatan y Williams, 2004). Si la puerta pertenece a una clase especial — por ejemplo, si uno de los \(c_i = 0\) — el número de CNOTs puede reducirse a 2 o incluso 1. Las puertas que son localmente equivalentes a CNOT (con \(c_x = \pi/4\), \(c_y = c_z = 0\)) requieren exactamente 1 CNOT.

5.2 · Identidades de circuito y cancelación de puertas

Las identidades algebraicas entre puertas permiten simplificaciones sistemáticas. Algunas identidades fundamentales incluyen:

La regla de cancelación más elemental es \(U U^\dagger = I\): dos puertas adyacentes que son inversas entre sí se eliminan del circuito. Para puertas de rotación, la fusión \(R_z(\alpha) R_z(\beta) = R_z(\alpha + \beta)\) reduce dos puertas a una. Estas reglas, aplicadas iterativamente sobre el DAG del circuito, constituyen la base de los pases de optimización en compiladores como Qiskit, Cirq y el motor de compilación de Harmoniq.

Las relaciones de conmutación entre puertas también juegan un papel esencial: si dos puertas adyacentes conmutan, pueden reordenarse libremente, lo que a menudo habilita cancelaciones adicionales. Por ejemplo, \(R_z(\alpha)\) conmuta con \(\mathrm{CNOT}\) cuando actúa sobre el cúbit de control, lo que permite mover rotaciones \(Z\) a través de CNOTs y fusionarlas con otras rotaciones \(Z\).

La transpilación es el proceso de transformar un circuito cuántico abstracto (lógico) en un circuito equivalente ejecutable en un dispositivo físico específico. Este proceso debe resolver tres problemas fundamentales: la traducción de puertas al conjunto nativo del hardware, la asignación de cúbits lógicos a cúbits físicos (qubit placement), y la inserción de operaciones SWAP para satisfacer las restricciones de conectividad (routing).

6.1 · Grafo de acoplamiento

El grafo de acoplamiento (o coupling map) \(G = (V, E)\) de un procesador cuántico define qué pares de cúbits físicos pueden ejecutar puertas de dos cúbits. En procesadores superconductores típicos, \(G\) es un grafo planar con grado máximo 3 o 4 (topología heavy-hex en IBM, topología de rejilla cuadrada en Google Sycamore). Si una puerta de dos cúbits del circuito lógico conecta dos cúbits cuya imagen en el mapeo físico no está en \(E\), el compilador debe insertar SWAPs para acercarlos.

El problema de encontrar el mapeo óptimo de cúbits y la secuencia mínima de SWAPs es \(\mathrm{NP}\)-completo en general. En la práctica, se emplean heurísticas eficientes:

SABRE (Li, Ding y Xie, 2019) realiza un barrido bidireccional del circuito: en cada paso, selecciona el SWAP que minimiza una función de costo basada en la distancia en el grafo de acoplamiento entre los cúbits de las puertas pendientes. El algoritmo alterna barridos hacia adelante y hacia atrás, refinando el mapeo iterativamente. Su complejidad temporal es \(\mathcal{O}(|E| \cdot d \cdot g)\), donde \(d\) es la profundidad y \(g\) el número de puertas de dos cúbits.

Asignación inicial. El mapeo inicial de cúbits lógicos a físicos influye significativamente en el número de SWAPs insertados. Estrategias como trivial layout (identidad), dense layout (subcircuito más conectado), y noise-adaptive layout (minimización de la tasa de error ponderada) se combinan con el enrutamiento para producir circuitos de profundidad mínima.

6.2 · Sobrecosto de profundidad

Cada SWAP insertado equivale a 3 CNOTs (o 3 CZs según la puerta nativa), incrementando la profundidad del circuito y, por tanto, la decoherencia acumulada. Para un circuito con \(g\) puertas de dos cúbits sobre un grafo de acoplamiento con diámetro \(D\), el peor caso de SWAPs es \(\mathcal{O}(g \cdot D)\). En la práctica, los algoritmos heurísticos logran un sobrecosto mucho menor, pero la relación entre topología del hardware y profundidad del circuito compilado sigue siendo un factor determinante del rendimiento.

La tendencia en el diseño de procesadores cuánticos es hacia topologías con mayor conectividad (grafos con menor diámetro y mayor grado promedio), lo que reduce la necesidad de SWAPs al costo de mayor crosstalk entre cúbits. La topología heavy-hex de IBM, por ejemplo, sacrifica conectividad para minimizar errores de crosstalk, mientras que la rejilla cuadrada de Google ofrece mayor conectividad a costa de un calibrado más complejo.

La optimización de circuitos cuánticos busca reducir el conteo de puertas, la profundidad y las métricas de error sin alterar la unitaria implementada. Las técnicas se clasifican en locales (actúan sobre subcircuitos pequeños) y globales (consideran la estructura completa del circuito).

7.1 · Template matching

El template matching busca subcircuitos que coincidan con patrones predefinidos (templates) y los reemplaza por versiones equivalentes más eficientes. Un template es una identidad de circuito \(C_1 = C_2\) donde \(C_2\) tiene menor costo. Por ejemplo, el template \(\mathrm{CNOT}_{12}\,\mathrm{CNOT}_{12} = I \otimes I\) elimina dos CNOTs redundantes. Las bibliotecas de templates se generan automáticamente mediante búsqueda exhaustiva sobre circuitos pequeños y se aplican mediante coincidencia de patrones sobre el DAG del circuito.

7.2 · Optimización peephole

La optimización peephole extiende el template matching resintentizando bloques contiguos del circuito. Dado un bloque de \(k\) puertas consecutivas sobre un conjunto de cúbits, el optimizador calcula la unitaria total del bloque y la resintetiza con el número mínimo de puertas nativas. Para bloques de un cúbit, la resíntesis usa la descomposición de Euler. Para bloques de dos cúbits, usa la descomposición KAK. Esta técnica es particularmente efectiva cuando el circuito original contiene redundancias introducidas por la transpilación.

7.3 · Análisis de conmutación

El análisis de conmutación construye un grafo de conmutación donde las aristas conectan puertas que conmutan. Dos puertas \(U\) y \(V\) conmutan si \(UV = VU\), es decir, si su orden de aplicación es irrelevante. El análisis permite reordenar las puertas del circuito para habilitar cancelaciones y fusiones que no serían posibles en el orden original. Reglas de conmutación eficientes incluyen:

7.4 · Optimización del \(T\)-count

En el contexto de la computación cuántica tolerante a fallos, la puerta \(T\) es la operación más costosa (requiere destilación de estados mágicos que consume miles de cúbits físicos por cada \(T\) lógica). La optimización del \(T\)-count busca minimizar el número total de puertas \(T\) en un circuito. Técnicas como la síntesis de fases de Amy, Maslov y Mosca (2014) representan subcircuitos sobre la base de Clifford+T como polinomios de fase y los optimizan mediante reducción de Gauss sobre \(\mathbb{Z}_8\). Resultados típicos logran reducciones del 30–40% en el \(T\)-count de circuitos aritméticos y oráculos.

Otro enfoque es la re-síntesis basada en ZX-calculus, un formalismo diagramático que representa circuitos cuánticos como grafos coloreados (verde/rojo) y aplica reglas de reescritura que preservan la semántica. El ZX-calculus permite simplificaciones no triviales que escapan a los métodos puramente algebraicos, y se ha integrado en compiladores como PyZX y en la cadena de optimización de Harmoniq.

Un circuito parametrizado es un circuito cuántico cuyas puertas dependen de un vector de parámetros reales \(\vec{\theta} = (\theta_1, \ldots, \theta_p)\). El circuito define una familia de unitarias \(U(\vec{\theta})\) que, aplicada a un estado fijo \(|0\rangle^{\otimes n}\), produce un ansatz variacional:

donde \(P_{l,k}\) son generadores de Pauli (o productos tensoriales de Paulis) y \(W_l\) son capas fijas de puertas entrelazadoras. Esta estructura es el corazón de los algoritmos cuánticos variacionales (VQAs), incluyendo VQE (Variational Quantum Eigensolver), QAOA (Quantum Approximate Optimization Algorithm) y los clasificadores cuánticos variacionales.

8.1 · Parameter binding y ejecución

En la práctica, el circuito se compila una vez como un template con parámetros simbólicos y se vincula (binds) a valores concretos en tiempo de ejecución. Esta separación entre compilación y vinculación es crucial para la eficiencia del lazo variacional: el costoso proceso de transpilación y optimización se realiza una sola vez, y cada evaluación del circuito solo requiere sustituir los valores numéricos de los parámetros en las puertas de rotación nativas.

8.2 · Regla de desplazamiento de parámetro

El cálculo del gradiente de un valor esperado \(\langle \hat{O} \rangle_{\vec{\theta}} = \langle \psi(\vec{\theta})| \hat{O} |\psi(\vec{\theta})\rangle\) respecto a los parámetros se realiza mediante la regla de desplazamiento de parámetro (parameter shift rule). Si la puerta parametrizada tiene la forma \(e^{-i\theta G/2}\) con \(G\) un generador con eigenvalores \(\pm 1\) (como las matrices de Pauli), entonces:

donde \(\hat{e}_k\) es el vector unitario en la dirección del \(k\)-ésimo parámetro. Esta regla permite calcular gradientes exactos (hasta ruido estadístico de muestreo) evaluando el circuito dos veces por cada componente del gradiente, lo que resulta en un costo de \(2p\) evaluaciones de circuito para el gradiente completo. Extensiones como la regla de desplazamiento generalizada manejan generadores con espectros más complejos.

8.3 · Ansätze hardware-efficient

Los ansätze hardware-efficient (HEA) diseñan el circuito parametrizado respetando directamente la conectividad y el conjunto nativo del hardware, evitando el sobrecosto de transpilación. Una estructura típica alterna capas de rotaciones de un cúbit \(R_y(\theta) R_z(\phi)\) con capas de entrelazamiento CZ o CNOT siguiendo la topología del grafo de acoplamiento. La expresividad del ansatz depende del número de capas \(L\) y de la estructura de entrelazamiento: ansätze con demasiados parámetros pueden sufrir barren plateaus (mesetas estériles), donde el gradiente de la función de costo se desvanece exponencialmente con el número de cúbits, haciendo inviable la optimización clásica.

La elección del ansatz es un equilibrio entre expresividad (capacidad de representar el estado objetivo), entrenabilidad (magnitud de los gradientes) y eficiencia de hardware (profundidad y conteo de puertas nativas). Estrategias como los ansätze adaptativos (ADAPT-VQE) construyen el circuito incrementalmente, añadiendo operadores del pool que maximizan el gradiente, evitando así los barren plateaus de los HEA genéricos.

En el modelo estándar de circuitos, las mediciones ocurren al final del circuito y colapsan el estado cuántico en la base computacional. Sin embargo, los procesadores cuánticos modernos soportan mediciones a mitad de circuito (mid-circuit measurements) que proyectan un subconjunto de cúbits sin destruir la coherencia de los demás. El resultado de la medición — un bit clásico — puede utilizarse para condicionar operaciones cuánticas subsiguientes, habilitando la retroalimentación clásica (classical feedforward).

9.1 · Formalismo de la medición proyectiva

Una medición en la base computacional del cúbit \(k\) se modela como la aplicación de los proyectores \(P_0^{(k)} = |0\rangle\langle 0|_k\) y \(P_1^{(k)} = |1\rangle\langle 1|_k\), con probabilidades

El estado post-medición \(|\psi_m\rangle\) retiene la coherencia de los cúbits no medidos, pero el cúbit medido queda fijado en \(|m\rangle\). Esta propiedad permite utilizar la medición como recurso para crear estados entrelazados de forma determinista (como en la teleportación cuántica) y para implementar corrección cuántica de errores en tiempo real.

9.2 · Operaciones condicionales y feedforward

Las operaciones condicionales aplican una puerta cuántica solo si un bit clásico tiene un valor específico. La notación habitual es \(\mathrm{if}(c = 1)\; U\), que aplica \(U\) al cúbit objetivo si el resultado de la medición almacenado en el registro clásico \(c\) es 1. En la teleportación cuántica, por ejemplo, las correcciones de Pauli \(X^{m_2} Z^{m_1}\) sobre el cúbit receptor están condicionadas a los resultados de las mediciones de Bell \(m_1, m_2\).

El classical feedforward extiende este concepto a computaciones clásicas arbitrarias sobre los resultados de medición antes de la aplicación condicional. Esto habilita protocolos como la corrección de errores en tiempo real, la destilación de estados mágicos, y los circuitos adaptativos donde la estructura del circuito depende dinámicamente de los resultados intermedios.

9.3 · Principio de medición diferida

El principio de medición diferida establece que cualquier circuito con mediciones a mitad de circuito y operaciones condicionales puede transformarse en un circuito equivalente donde todas las mediciones se difieren al final, reemplazando las operaciones condicionales por puertas controladas cuánticamente. Formalmente, \(\mathrm{if}(c = 1)\; U\) se reemplaza por \(\mathrm{C\text{-}}U\) donde el cúbit que se habría medido actúa como control.

Este principio tiene una consecuencia teórica importante: el modelo de circuitos con feedforward clásico no es más poderoso computacionalmente que el modelo sin feedforward. Sin embargo, en la práctica, las mediciones a mitad de circuito con feedforward pueden reducir drásticamente la profundidad y la anchura del circuito. Por ejemplo, ciertos protocolos de corrección de errores requieren \(\mathcal{O}(n)\) cúbits auxiliares con medición diferida, pero solo \(\mathcal{O}(1)\) con feedforward, ya que los cúbits auxiliares pueden reutilizarse tras la medición y reinicialización.

La plataforma Harmoniq implementa una cadena de compilación completa que transforma el circuito lógico del usuario en secuencias de pulsos de microondas ejecutables en procesadores cuánticos superconductores. El flujo de compilación se estructura en cuatro etapas principales: análisis y validación, optimización lógica, transpilación al hardware, y generación de pulsos.

10.1 · Análisis y validación

La primera etapa verifica la consistencia del circuito: dimensiones del registro, tipos de puertas soportadas, restricciones de medición, y corrección de las operaciones condicionales. El validador genera un DAG canónico del circuito y detecta subcircuitos triviales (identidades, puertas sin efecto) que pueden eliminarse antes de la optimización.

10.2 · Optimización lógica

El optimizador lógico aplica una secuencia configurable de pases de transformación sobre el DAG: cancelación de inversas, fusión de rotaciones adyacentes, template matching, resíntesis peephole de bloques de 1 y 2 cúbits (descomposición Euler y KAK), análisis de conmutación con reordenamiento, y eliminación de barreras redundantes. Los niveles de optimización (0–3) controlan la agresividad: el nivel 0 solo realiza la traducción al conjunto nativo; el nivel 3 aplica todos los pases incluida la resíntesis global.

10.3 · Transpilación a familias Hopper y Hermann

Los procesadores de la familia Hopper de Harmoniq utilizan el conjunto nativo \(\{R_z, \sqrt{X}, \mathrm{ECR}\}\), donde ECR (Echoed Cross-Resonance) es una puerta de dos cúbits implementada mediante pulsos de cross-resonance seguidos de un eco que cancela errores sistemáticos. Los procesadores de la familia Hermann emplean \(\{R_z, \sqrt{X}, \mathrm{CZ}\}\) con topología de conectividad densa tipo heavy-hex.

El transpilador mapea cada puerta del circuito lógico al conjunto nativo correspondiente, asigna cúbits lógicos a físicos utilizando el algoritmo de asignación basado en ruido (que pondera las tasas de error \(T_1\), \(T_2\) y las fidelidades de puerta de cada cúbit físico), y ejecuta el enrutamiento SABRE con optimización de profundidad. El resultado es un circuito físico anotado con la información de calibración del dispositivo.

10.4 · Control a nivel de pulso

La etapa final traduce cada puerta nativa a una secuencia de pulsos de microondas con parámetros calibrados: frecuencia portadora, amplitud, fase, duración y envolvente (gaussiana, DRAG, o formas personalizadas). La puerta \(R_z(\theta)\) se implementa como un frame change virtual (rotación de la fase de referencia del oscilador local) con duración cero y fidelidad perfecta. Las puertas \(\sqrt{X}\) y ECR/CZ requieren pulsos físicos con duraciones típicas de 20–160 ns calibrados diariamente.

La ejecución consiste en repetir el circuito un número configurable de veces (shots), típicamente \(10^3\)–\(10^5\), para reconstruir las estadísticas de medición. El resultado es un histograma de conteos sobre las cadenas de bits medidas, que el usuario analiza para extraer valores esperados, distribuciones de probabilidad o resultados algorítmicos. La plataforma Harmoniq ofrece mitigación de errores post-procesamiento (matrix-free measurement error mitigation, zero-noise extrapolation) integrada en el flujo de ejecución.